Il coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale può sembrare davvero una strana creatura e per arrivarci esiste un percorso che comincia dagli anagrammi.

Prendendo ad esempio una parola, come ad esempio NUVOLA, contiamo i possibili anagrammi che è possibile formare con essa.

Le postazioni da riempire sono 6: _ _ _ _ _ _ e all’inizio abbiamo tutte le 6 diverse lettere di cui la parola NUVOLA è composta da cui scegliere quella da collocare nella prima postazione.

Nel momento in cui avremo piazzato una lettera nella prima posizione, ad esempio la A, la situazione sarà questa: A _ _ _ _ _ e nell’accingerci a riempire la seconda posizione notiamo che abbiamo solo 5 possibilità (NUVOL), in quanto la A è stata già usata.

Nel momento in cui avremo piazzato una lettera anche nella seconda posizione, ad esempio la L, la situazione sarà questa: A L _ _ _ _ e nell’accingerci a riempire la terza posizione notiamo che abbiamo solo 4 possibilità (NUVO), in quanto la A e la L sono già state usate.

Andando avanti fino all’ultima lettera, per cui ci sarà rimasta solo una scelta, notiamo che possiamo contare i diversi possibili anagrammi moltiplicando 6*5*4*3*2*1, operazione che si può riassumere con il fattoriale, che si indica con un punto esclamativo indicato dopo il primo numero: saranno quindi 6!.

Generalizzando a insiemi che hanno un n numero di elementi possiamo quindi contare per esse n! possibili permutazioni, che nel caso delle lettere si chiamano appunto anagrammi.

Se una parola contiene però delle lettere ripetute, gli anagrammi che le riguardano saranno identici e quindi non conteranno più come anagrammi distinti, quindi li escluderemo dalla conta dividendo per il numero delle lettere ripetute al fattoriale.

Questo succede ad esempio con la parola MARIA., che ha 5!/2! possibili anagrammi,  o la parola MAMMA., che ha 5!/3!2! possibili anagrammi.

Se invece di prendere tutti gli elementi di un insieme e trovare tutti i diversi modi di riordinarli come succede negli anagrammi, e quindi nelle permutazioni dovessimo prenderne solo alcuni, come ad esempio succede nel caso di un podio di una gara a cui partecipano 20 corridori, le posizioni da riempire sono solo 3: _ _ _ , ma per la prima posizione abbiamo 20 scelte, per la seconda 19 e per la terza 18. Questo vuol dire che il numero totale delle possibili modalità di riempire il podio è 20*19*18, che si può intendere come 20!/17!, dove 17 è ricavato da 20-3.

Quindi, generalizzando nel caso del podio composto da k postazioni da riempire attingendo da n elementi, possiamo contare n!/(n-k)! possibili disposizioni.

Se invece di un podio avessimo semplicemente da scegliere una squadra da 3 persone tra gli alunni di una classe da 20, senza il bisogno di ordinarli in primo, secondo e terzo, allora alcune delle disposizioni per noi sarebbero equivalenti, ad esempio quelle composte da ABC e BCA e da tutti i possibili anagrammi di queste tre lettere ABC ripetute con diverso ordine.

Sappiamo che date 3 lettere, il numero dei loro possibili anagrammi è 3!, quindi escludiamo dalla conta questa quantità e otteniamo che il numero della possibili squadre è 20!/17!3!

Quindi, generalizzando nel caso di una squadra composta da k elementi da combinare attingendo da n elementi, possiamo contare n!/(n-k)!k! possibili combinazioni.

n!/(n-k)!k! è il coefficiente binomiale, che si può indicare anche con il seguente simbolo e si legge “n su k”

Il suo nome deriva dal fatto che viene usato anche nelle formule che sviluppano le potenze di un binomio (triangolo di Tartaglia).

Il coefficiente binomiale dà luogo anche a una particolare distribuzione di probabilità detta binomiale, che consiste in n esperimenti bernoulliani indipendenti ripetuti.

Ricordiamo che gli esperimenti Bernoulliani coinvolgono variabili casuali dicotomiche, che possono restituire esito positivo (x=1, evento successo) o negativo (x=0, evento insuccesso) e sono descritte dalla seguente distribuzione di probabilità e dalle seguenti proprietà, dove p è la probabilità dell’evento successo:

f(x)=p^x+(1-p)^1-x

quindi se x=0 f(x)=p⁰+(1-p)^1-0=1-p

quindi se x=1 f(x)=p¹+(1-p)^1-1=p

E(x)=p

Var(X)=p(1-p)

Ripetendo l’esperimento Bernoulliano per n volte otteniamo quindi la distribuzione di probabilità binomiale, caratterizzata dalle seguenti proprietà:

f(x)=(n!/(n-k)!k!)(p^x+(1-p)^n-x)

E(x)=np

Var(X)=np(1-p)