Chiarimento di alcuni degli aspetti matematici che si incontrano nel corso di microeconomia, in cui la comprensione di grafici e di alcuni passaggi riveste un’importanza fondamentale.
Comunciamo dal vincolo di bilancio una retta con pendenza negativa: cosa vuol dire?
Prima di tutto in una retta, se esplicitiamo l’equazione, esprimendo a quanto equivale la y rispetto alla x, troviamo che tra la y e la x c’è proporzionalità diretta, cioè la y è uguale alla x moltiplicata per una costante.
Secondo aspetto, questa costante è ha segno più (attenzione, perché spesso il segno più viene omesso) se la pendenza è positiva e segno meno se la pendenza è negativa.
Questo è un esempio di grafico in cui la pendenza è positiva (coefficiente della x pari a 1/2) e il grafico intercetta l’asse delle y sull’origine: è un po’ come se rappresentasse la storia di qualcuno che all’inizio non ha niente, ma poi comincia a guadagnare mezzo euro ogni unità che produce (o ad esempio a richiedere 50€ per ogni ora che insegna) e i suoi guadagni cominciano piano piano a salire.
In questo caso sull’asse delle x avrò le unità prodotte e sulla y i ricavi, sempre crescenti.
Il coefficiente angolare, 1/2 (o 0,5), esprime in che misura la y cresce a ogni passo in più che viene compiuto dalla x: a ogni passo verso destra della x corrisponde mezzo passo verso l’alto della y.
Anche il grafico descritto di seguito è crescente, ma con pendenza minore, infatti ha coefficiente angolare 1/4, minore di 1/2 (ricordiamoci che una frazione è il risultato di una divisione, quindi è tanto più piccola quanto maggiore è il denominatore).
Un’altra differenza con il grafico sopra è il fatto che la retta non intercetta l’asse delle y sull’origine, ma sul punto (0,4), il che potrebbe rappresentare qualcuno che all’inizio non parte da 0, ma con un piccolo gruzzoletto da parte, che incrementa poi piano piano, guadagnando ad esempio 0,25 centesimi per ogni unità che produce. Dopo 4 unità avrà guadagnato 2 €, dopo 8 unità 4 €, ecc.
Si potrebbe anche fare l’esempio che questa persona richiede 25 € per ogni ora di lezione che esegue, considerando una scala diversa, così avrà guadagnato 50 € dopo le prime due ore, 100 € dopo le prime 4 ore (25 € ogni ora), ecc.
Il coefficiente angolare, 1/2 (o 0,5), esprime in che misura la y cresce a ogni passo in più che viene compiuto dalla x: a ogni passo verso destra della x corrisponde mezzo passo verso l’alto della y.
Esaminiamo ora delle rette con pendenza negativa, proprio come il vincolo di bilancio.
Questa retta, ad esempio, incrocia l’asse delle y sull’origine e ha pendenza -1/4.
Potrebbe rappresentare l’andamento delle finanze di un nullatenente che invece di mettersi a lavorare e guadagnare si indebita sempre di più.
La retta che rappresenta il vincolo di bilancio ha una forma simile a quest’ultima, ma ha sugli assi x e y le quantità del bene x e quella del bene y, che equivalgono al reddito diviso il prezzo del bene x e del bene y.
Attenzione: non si tratta di una moltiplicazione, ma di una divisione, infatti le quantità non aumentano (di norma) all’aumentare del prezzo, bensì diminuiscono.
Ecco come si presenta un vincolo di bilancio:
Esaminiamo ora come esprimere la pendenza, che è il rapporto tra il Δy e il Δx, presi due punti: più è grande quindi la differenza tra le coordinate y e più è piccola quella tra le coordinate x, più la pendenza sarà accentuata.
Nel caso di rette con coefficiente, quindi pendenza, negativa, il Δy risulta la differenza tra due coordinate di cui la prima è più piccola della seconda e pertanto è negativo e, poiché il Δx è sempre positivo, perché la seconda x è viene sempre dopo della prima, il rapporto tra Δy e Δx risulta essere negativo, come ad esempio nella funzione di seguito.
La pendenza del vincolo di bilancio si determina così:
Se ad esempio il bene y è 4 volte più costoso del bene x, rinunciando a un’unità del bene y posso acquisire 4 unità del bene x.
Il bene x è 4 volte meno caro e la sua quantità è 4 volte maggiore di quella del bene y, come si può verificare da questi semplici passaggi:
La situazione è simile a questa:
Nell’immagine seguente le y e le x sono nel rapporto di 2/3, il che significa che a ogni incremento di 3 unità x corrisponde un incremento di 2 unità di y.
Se con questo vincolo di consumo un consumatore rinuncia a 4 unità di x in cambio di 1 unità di y, si va a trovare al di sotto del vincolo di bilancio, quindi questa operazione è plausibile e comporta un decremento della spesa.
I vincoli di bilancio si comparano poi con le curve di indifferenza, che rappresentano le preferenze (utilità) del consumatore e sono rappresentate da iperboli con pendenza variabile, detta SMS (saggio marginale di sostituzione).
Affinché il consumatore abbia utilitià maggiore possibile, compatibilmebte con il suo vincolo di bilancio, è necessario imporre la tangenza tra il vincolo e le curve, cioè l’intersezione in un solo punto.
Di seguito altre formule utili.
Claudia Sorcini 