Divisione polinomiale passo passo

All’inizio controlliamo se il polinomio che dobbiamo dividere è completo di tutti gli esponenti in ordine decrescente fino alla x elevata a 0 (che corrisponde con il termine senza x, perché ogni numero elevato a 0 dà come risultato semplicemente 1.

Se non lo è aggiungiamo il termine mancante con lo stratagemma di moltiplicarlo per il coefficiente 0.

Ad esempio qui manca il termine con l’esponente 1:

Ovvieremo a questa mancanza così, nell’impostare la divisione:

Adesso procediamo alla prima divisione, con cui cominceremo a ottenere il polinomio quoziente, che avrà grado minore rispetto al polinomio di origine.

Quindi quando scrivo i risultati della divisione il grado diminuisce sempre.

Per proseguire nell’operazione ho però bisogno di rimoltiplicare il mio risultato parziale della divisione per il polinomio da dividere, andando a riportare a sinistra il polinomio risultante.

Devo però fare attenzione a riportare i singoli termini nella postazione che gli spetta secondo il loro esponente.

Ad esempio in questo caso non ho il termine con l’esponente alla seconda, quindi lascio vuoto lo spazio relativo.

Quando moltiplico, il grado del polinomio risultante sale.

Sommo i termini iniziali al polinomio che ho ottenuto con la moltiplicazione del divisore con il risultato parziale e, se ho fatto bene i conti, il termine di grado più alto del polinomio deve scomparire mentre vado avanti nell’operazione.

Visto che il polinomio risultante dall’addizione ha ancora grado superiore a quello del divisore, posso continuare con la divisione.

Posso scrivere questo ulteriore risultato parziale della divisione di seguito al primo che ho ottenuto.

Rifaccio ora la moltiplicazione tra divisore e quoziente parziale, cambiando il segno.

Essendo una moltiplicazione, il grado cresce di nuovo.

Faccio di nuovo le somme e trovo sull’ultima riga un polinomio che ha grado inferiore a quello che devo dividere, quindi posso fermarmi e determinare il polinomio quoziente e il resto.

Osserviamo che, essendo il polinomio divisore di grado 2, il polinomio quoziente ha grado inferiore di 2 rispetto a quello di partenza.

Se avessimo avuto invece un polinomio divisore di grado 1, avremmo ottenuto un polinomio quoziente sempre di grado minore rispetto a quello di origine, ma inferiore di 1 grado: ce ne accorgiamo già dal primo passaggio: