Disuguaglianza di Bernoulli e principio di induzione

Il principio di induzione ci dice che (immagine tratta dal libro Matematica blu 2.0 per le Scuole superiori di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone)

Vediamone un’applicazione pratica nella dimostrazione della diguguaglianza di Bernoulli.

Sotto le ipotesi

Cominciamo con il dimostrare che la disuguaglianza è soddisfatta per n=0.

Visto che la disuguaglianza non è stretta, è soddisfatta anche se i due termini sono uguali.

Ora invece, partendo dall’assunto che la disuguaglianza sia soddisfatta per n, dimostriamo che è dimostrata anche per n+1.

Quindi devo arrivare a dimostrare che

Partendo dall’assunto che

Cominciamo con il moltiplicare entrambi i membri della disuguaglianza sopra per il termine (x+1), che da ipotesi è sicuramente maggiore di 0, quindi non fa cambiare il verso della disuguaglianza.

I termini della disuguaglianza di partenza sono evidenziati in rosa.

A sinistra sviluppo l’espressione applicando la proprietà delle potenze secondo la quale la moltiplicazione di due termini che hanno la stessa base è uguale alla stessa base elevata a un esponente pari alla somma dei due esponenti: in questo caso (1+x) risulta elevato a 1, per cui basta aggiungere 1 a n. A destra invece sviluppo i calcoli della moltiplicazione.

Notiamo che il termine evidenziato in rosa è sicuramente positivo, questo comporta che se il termine a sinistra è maggiore del termine a destra, allora sarà maggiore anche del termine a destra a cui tolgo questo termine positivo.

Considero solo il primo e il terzo termine di questa serie di disuguaglianze, raccolgo la x al terzo termine e arrivo al risultato che dovevo dimostrare perché fosse verificato il principio di induzione:

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