Funzione di domanda diretta e inversa

La funzione della domanda lineare corrisponde con l’equazione di una retta decrescente, che esprime la quantità domandata al variare del prezzo

Q = Q (P) = a – bP

Graficamente, per ragioni storiche, si va a riportare sull’asse delle ascisse la quantità e sull’asse delle ordinate il prezzo, quindi è più comodo ottenere l’equazione che esprime il prezzo al variare della quantità, cioè la funzione di domanda inversa.

P = P (Q) = (a – Q)/b

Per farlo, è consigliabile ricorrere ai seguenti passaggi, partendo dal seguente esempio.

Come prima cosa spostiamo in blocco tutto il monomio che contiene P, applicando il primo principio di equivalenza, cioè aggiungendo a destra e a sinistra:

Questo ci permette di trovarlo a sinistra cambiato di segno e di semplificarlo a destra:

La stessa operazione si può abbreviare pensando di spostare tutto il monomio da destra a sinistra cambiandogli il segno:

Adesso la formula ha questo aspetto:

Visto che il nostro scopo è esplicitare, cioè isolare, la P, procediamo a passare la Q dall’altra parte e lo facciamo sempre applicando il primo principio di equivalenza:

Ciò ci permette di semplificare Q a sinistra e di trovarcelo a destra cambiato di segno:

La stessa operazione si può abbreviare pensando di spostare la Q da destra a sinistra cambiandole il segno:

Adesso la nostra formula ha questo aspetto:

Dobbiamo ora, per esplicitare la P, spostare il fattore per cui è divisa, il 3, e quello per cui è moltiplicata, il 2.

Per far semplificare il 3 a sinistra, che divide P, moltiplichiamo a destra e a sinistra per 3:

Per far semplificare il 2 a sinistra, che moltiplica P, dividiamo a destra e a sinistra per 2:

Otteniamo così finalmente la formula inversa, che possiamo ulteriormente trasfomare eseguendo le moltiplicazioni sulla parentesi ed evidenziando l’intercetta verticale 45 e il coefficiente angolare -3/2:

Per disegnare la retta possiamo direttamente segnare il punto corrispondente con l’ascissa verticale sull’asse delle y (0,45) e poi porre P=0 sulla formula diretta o inversa di domanda per trovare l’intercetta orizzontale (30,0).

Il coefficiente angolare della retta è il termine che moltiplica Q e rappresenta la crescita (o decrescita, come in questo caso) della P in corrispondenza di una crescita della Q.