La matematica nella Bibbia

Ultimamente mi appassiona cercare riferimenti matematici ovunque e nel tempo di quaresima appena trascorso ho pensato di farlo anche nella Bibbia.
Anche la stessa parola quaresima porta in sé, etimologicamente, un numero, in quanto, come il francese carême, deriva dal latino ecclesiastico quadragäsëma, che significa “quarantesimo giorno” di preparazione prima della Pasqua, il giorno del passaggio di rinascita, dal significato così profondo che può essere condiviso anche da altre culture, oltre alla nostra.
In particolare nei ritagli di tempo che ho avuto durante il triduo pasquale, altra espressione che porta in sé un numero e significa ciclo di preghiere che dura tre giorni (dalla sera del giovedì santo alla veglia di Pasqua di sabato), ho raccolto alcune informazioni sulla presenza dei numeri e della matematica nella Bibbia.


Le fonti che ho usato sono state principalmente il dizionario di Teologia Biblica, pubblicato sotto la direzione di Xavier Leon-Dufour, e la Bibbia di Gerusalemme. Inoltre ho trovato molto utili diversi siti: questo sul rapporto aureo, questo sui diversi riferimenti matematici e questo, che consiglio davvero a chi vuole approfondire la questione.

Ho scoperto che nella Bibbia non si possono trovare troppe indicazioni numeriche e inoltre occorre considerare sia che potrebbero non essere state esattamente trasmesse, sia che, nell’intenzione dell’autore, il numero in questione poteva essere inteso non nel suo valore aritmetico esatto, ma come un’approssimazione o nel suo significato simbolico.
Le antiche civiltà semitiche infatti non si preoccupavano in genere troppo dell’esattezza matematica e a questa preferivano l’uso simbolico dei numeri, per cui è spesso errato intendere i numeri della Bibbia alla lettera.
Ciò vale anche per tante delle storie in essa raccontate, in cui leggenda e parziale realtà (ad esempio potrebbe essere stato davvero un vento proveniente da Oriente a separare le acque durante il passaggio di Mosé e il diluvio universale dal quale trovò scampo Noè potrebbe riferirsi a un cataclisma realmente avvenuto) si mescolano per mandarci un messaggio che ci racconta di eventi naturali strepitosi e di storie che vanno interpretate nel loro significato simbolico.

L’uso simbolico dei numeri era d’altronde comune nell’antico Medio Oriente: ad esempio in Mesopotamia, dove le matematiche erano relativamente sviluppate, si attribuivano agli dèi taluni numeri sacri e secondo le speculazioni pitagoriche, 1 e 2 erano maschili, 3 e 4 femminili, 7 verginale, ecc.
Nella Bibbia nessuna cifra per sé è sacra, ma, per influsso laterale delle civiltà vicine, prevalgono gli usi simbolici o convenzionali dei numeri.


LA GEOMETRIA NELLA BIBBIA


Nella Bibbia più che alla geometria, si fa ricorso alla “gemetria”, dall’ebr. gīmatrīyā, che viene a sua volta dal greco γεωμετρία (geometria), una tecnica cabalistica usata a scopo crittografico nella letteratura apocalittica giudaico-cristiana, che consiste nel sostituire a un nome un numero ottenuto sommando i valori numerici usualmente attribuiti (presso popoli che, come gli Ebrei e i Greci, non avevano numeri e li indicavano mediante lettere dell’alfabeto) alle singole lettere componenti il nome stesso.
Così, ad esempio, il nome di Gesù, in greco ᾿Ιησοῦς, è sostituito dal numero 888 (che è appunto la somma dei valori delle lettere ι = 10, η = 8, σ = 200, ο = 70, υ = 400, σ[ς] = 200), i 318 armati di Abramo (Gen 14,14) corrispondono probabilmente alla cifra del nome Eliezer, l’intendente di Abramo: ‘+L+J+ `-)-Z+R = 1+30+10+70+7+200=318 o il numero 666, che secondo alcune non sicure interpretazioni, alluderebbe a Nerone nell’Apocalisse di Giovanni, 13, 18: chi ha intelligenza, calcoli il numero della bestia: essa rappresenta un numero d’uomo. E tal cifra è seicentosessantasei.

Ci sono però anche dei riferimenti alla geometria vera e propria.
Il più suggestivo è quello relativo a una stima (non troppo precisa) del valore del π (espresso come 3=30 cubiti/10 cubiti) in una descrizione della reggia di Salomone presente in I Re 7, 23:
Fece un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo all’altro, rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti e la sua circonferenza di trenta cubiti.
e nella descrizione simile presente in II Cronache, 4,2:
Fece la vasca di metallo fuso del diametro di dieci cubiti rotonda, alta cinque cubiti; ci voleva una corda di trenta cubiti per cingerla.
C’è inoltre un riferimento a un cerchio, che sembra aver influenzato Dante nella struttura del suo Paradiso, in Proverbi, 8,27, in cui il soggetto è la Sapienza:
Quando egli fissava i cieli, io ero là,
quando tracciava un cerchio sull’abisso

C’è anche un riferimento all’angolo, su I Piet 2, 7, inteso come parte fondamentale di una struttura: La pietra che i costruttori hanno scartato è divenuta la pietra angolare

Inoltre, nella Bibbia il rettangolo aureo compare nelle proporzioni di alcune costruzioni che Dio indica di seguire, ad esempio l’Arca dell’Alleanza e l’Arca di Noé.
In Esodo 25,10, Dio ordina a Mosè di costruire l’Arca dell’Alleanza così:
Faranno dunque un’arca di legno di acacia, avrà due cubiti e mezzo di lunghezza, un cubito e mezzo di larghezza, un cubito e mezzo di altezza.
Il rapporto di 2,5 a 1,5 è 1,666 (periodico), molto vicino al valore di Ф (1,618…): l’arca dell’Alleanza è stata quindi costruita utilizzando la proporzione “divina” della sezione aurea.
In Esodo ordina a Mosè di costruire anche un altare di bronzo così:
Farai anche un altare di legno d’acacia: avrà cinque cubiti di lunghezza e cinque cubiti di larghezza. L’altare sarà quadrato e avrà l’altezza di tre cubiti.
Le proporzioni di questo altare si basano sul rapporto aureo 5-3, che sono proprio numeri della serie di Fibonacci.
In Genesi 6:15 Dio ordina a Noè di costruire un’arca:
Ecco come la dovrai fare: la lunghezza dell’arca sarà di trecento cubiti, la larghezza di cinquanta cubiti e l’altezza di trenta cubiti.
Anche le misure dell’arca di 30 e 50 cubiti hanno lo stesso rapporto esistente tra i numeri 5 e 3, cioè 1,666…ancora un’approssimazione di Ф con differenze non visibili ad occhio nudo.
L’arca di Noè è stata costruita nella stessa proporzione di dieci arche dell’alleanza affiancate.

I NUMERI DELLA BIBBIA


C’è un libro intitolato proprio Numeri nella Bibbia, inserito in un gruppo di cinque libri (di cui fanno parte anche Genesi ed Esodo) chiamato Pentateuco (penta vuol dire cinque in greco), ma, a dispetto del nome, in realtà non vi si può poi trovare così tanta matematica, eccezion fatta per la descrizione di due censimenti, ragione per cui i traduttori in lingua greca della Bibbia ebraica scelsero proprio questo nome.
Molti numeri che si incontrano nel corso della Bibbia si possono spiegare con il duplice procedimento dei valori simbolici e delle gematrie, ma molto spesso ne abbiamo perduto la chiave ed è molto difficile ritrovarla: i numeri rappresentano molto spesso nozioni di ordine completamente diverso, che, più di una volta, sfuggono ai lettori moderni.
Così le età favolose dei patriarchi antidiluviani e di altri antenati di Israele hanno probabilmente un significato; ma esso appare soltanto per Enoch, che visse 365 anni, cifra perfetta di un anno solare.
Resta certo che i numeri Citati nei libri sacri non devono sempre essere presi alla lettera, ma per comprenderne la portata, bisogna tenere sempre conto dei simboli dietro di essi sottesi nell’intenzione dei narratori.
Ad esempio nei libri storici il numero dei combattenti o dei prigionieri è molto spesso esagerato (cfr. Es 12, 37), ma è una convenzione del genere letterario, e questa affermazione s’intende in funzione di essa, al di là di un valore aritmetico più o meno convenzionale.


Il 2 ad esempio può significare « alcuni » (Num 9, 22) e il doppio, una sovrabbondanza (Ger 16, 18; Is 40, 2; 61, 7; Zac 9, 12; Apoc 18, 6).

Il 3, oltre a essere un’approssimazione del numero pi greco e la triplice ripetizione di un gesto (1 Re 17, 21) o di una parola (Ger 7, 4) segna l’enfasi, l’insistenza, il «superlativo del superlativo» (Is 6,3), ed è anche il numero delle volte che Pietro rinnega Gesù.

Il 4 indica la totalità dell’orizzonte geografico (davanti, dietro; destra e sinistra): i quattro venti (Ez 37, 9; Is 11, 12), i quattro fiumi del paradiso (Gen 2, 10) ed è quindi anche la cifra della totalità cosmica (che sta ancora sullo sfondo dei quattro viventi in Ez 1, 5…; Apoc 4, 6) e finisce per designare tutto ciò Che ha carattere di pienezza: quattro flagelli in Ez 14, 21; quattro beatitudini in Lc 6, 20 ss (e 8 in Mi 5, 1-10).

Il 5 ha un valore mnemotecnico (dita di una mano) che può essere all’origine di talune prescrizioni rituali (Num 7, 17. 23. 29); ma è puramente approssimativo in Gen 43, 34 (la porzione di Beniamino è cinque volte maggiore), Lc 12, 6 (cinque passeri per due assi, 1 Cor 14, 19 (piuttosto cinque parole che istruiscono, che diecímila in lingue).


Il 6 (7-1) è il numero della perfezione non raggiunta (Apoc 13, 18: 666).

Il 7 suggerisce un numero abbastanza considerevole: Caino sarà vendicato sette volte (Gen 4, 15), il giusto cade sette volte al giorno (Prov 24, 16), Pietro vuol perdonare sette volte (MI 18, 21) e Gesù scaccia sette demoni dalla Maddalena (Mc 16,9); ma questo numero ha un superlativo: Lamec sarà vendicato seitantasette volte (Gen 4, 24) e Pietro dovrà perdonare settantasette volte o settanta volte sette volte (Mi 18, 22). Il 7 designa inoltre tradizionalmente una serie completa: sette aspersioni Con il sangue (Lev 4, 6. 17; 8, 11; 14, 17; Num 19, 4; 2 Re 5, 10), immolazione di sette animali (Num 28, 11; Ez 45,23; Giob 42,8; 2 Cron 29,21). È collegato volentieri ad oggetti sacrosanti: i sette angeli di Tob 12, 15; i sette occhi sulla pietra in Zac 3, 9. Cifra di perfezione divisibile in 3+4, il sette figura a questo titolo nelle visioni profetiche (Is 30,26; Zac 4,2) e soprattutto nelle apocalissi (Apoc 1, 12. 16; 3, 1; 4, 5; 5, 1. 6; 8, 2; 10, 3; 15, 1; 17, 9), ma si menziona pure la sua metà, tre e mezzo (Dan 7, 25; 8, 14; 9,27; 12, 8. 11 s; Apoc 11, 2 s. 9 ss; 12, 6. 14; 13,5).

È soprattutto la cifra dei giorni della settimana, e caratterizza il sabato, giorno santo e di riposo anche per Dio, dopo aver portato a compimento il cielo e la terra e tutte le loro schiere (Gen 2,2).

Il 10 ha, come il 5, un valore mnemotecnico (le dieci dita): da qui il suo uso per i dieci comandamenti (Es 34, 28; Deut 4,13) o le dieci piaghe di Egitto (Es 7, 14 – 12, 29). Inoltre, come il 7, indica una quantità abbastanza grande Labano ha cambiato dieci volte il salario di Giacobbe (Gen 31, 7) e Giobbe è stato insultato dieci volte dai suoi amici (Giob 19, 3).

Il 12 è il numero delle lunazioni dell’anno, e suggerisce quindi l’idea di un ciclo annuale completo: le dodici prefetture di Salomone assicurano a turno il vettovagliamento della corte per un mese (1 Re 4, 7 – 5, 5); si è supposto che il numero delle dodici tribù di Israele fosse in rapporto con il servizio cultuale nel santuario comune durante i dodici mesi dell’anno. Il 12, in quanto Cifra delle dodici tribù, è anch’esso una cifra perfetta, che si applica simbolicamente al popolo di Dio. Di qui il suo uso significativo per i dodici apostoli di Gesù, che governeranno le dodici tribù del nuovo Israele (Mt 19, 28 par.). Anche la nuova Gerusalemme dell’Apocalisse ha dodici porte su cui sono incisi i nomi delle dodici tribù (Apoc 21, 12), e dodici basamenti che portano i nomi dei dodici apostoli (21, 14). Così pure il popolo salvato è un numero di 144.000, dodici migliaia per ogni tribù di Israele (7, 4-8). Ma le dodici stelle che coronano la donna (altro simbolo della nuova umanità) potrebbero fare allusione alle dodici costellazioni zodiacali (12, 1). È anche il numero dei buoi su cui si poggia la vasca nella reggia di Salomone in II Cronache 4,4: questa poggiava su dodici buoi, tre guardavano verso settentrione, tre verso occidente, tre verso meridione e tre verso oriente.


Il 40 designa convenzionalmente gli anni di una generazione; quarant’anni di soggiorno nel deserto (Num 14, 34), quarant’anni di tranquillità in Israele dopo ogni liberazione compiuta dai Giudici (Giud 3, 11- 30; 5, 31; ecc.), quarant’anni di regno per David (2 Sam 5,4)… Di qui l’idea di un periodo piuttosto lungo di cui non si conosce la durata esatta: quaranta giorni e quaranta notti per il diluvio (Gen 7, 4), il soggiorno di Mosè sul Sinai (Es 24, 18); ma i quaranta giorni del viaggio di Elia (1 Re 19, 8) e del digiuno di Cristo (Mc 1, 13 par.) ripetono simbolicamente i quarant’anni di Israele nel deserto.


Usi simili sono da ricordare per 60, 80 (Cani 6, 8) e 100 (Lev 26, 8; Eccle 6, 3; il centuplo di Mt 19, 29), mentre i settanta anziani di Num 11, 16. 24 si riferiscono all’uso convenzionale di sette (cfr. Lc 10, 1).

Così pure taluni usi del numero 70 (10 volte sette) sono in rapporto con il simbolismo della settimana e del sabato (Ger 25, 11; 2 Cron 36,21; Dan 9,2). Di qui le speculazioni apocalittiche di Dan 9, 2. 24, dove le settanta settimane di anni (10 giubilei di sette volte sette anni) terminano nel giorno della salvezza, indipendentemente da ogni cronologia reale. Le speculazioni numeriche che vengono proposte a questo riguardo sono di ordine simbolico, dai settant’anni di Geremia (Ger 29, 10) alle settanta settimane di anni di Daniele (Dan 9), periodi il cui significato è correlativo a quello dell’anno sabbatico e dell’anno giubilare (cfr. Is 61, 2; Lev 25, 10).
Nelle scritture profetiche, a Daniele che scruta il libro di Geremia, l’arcangelo Gabriele rivela il significato misterioso dell’oracolo delle settanta settimane (Dan 9), che si basa sul simbolismo dei numeri.


La cifra 1000 evoca una quantità considerevole: Dio fa grazia a mille generazioni (Es 20,6; Ger 32,18); per lui mille anni sono Come un giorno (Sal 90,4) ed un giorno presso di lui val più di mille altrove (Sal 84, 11). Ma la stessa cifra selve pure a designare le divisioni interne delle tribù, ed il «migliaio» si suddivide esso stesso convenzionalmente in centinaia, cinquantine e decine (Es 18, 21).


Al di là del 1000, la miriade (10.000) designa una quantità favolosa (Lev 26, 8). Ad ogni modo questi grossi numeri hanno un valore iperbolico, percepibile in passi Come Gen 24, 60 oppure 1 Sani 18, 7.

Un procedimento originale per segnare l’enfasi consiste nell’aumentare un numero facendolo seguire da quello che gli è superiore: « Una volta Dio ha parlato, due volte ho inteso » (Sal 62, 12). Si trova Così: 1+2 (Ger 3,14; Giob 40,5); 2-1-3 (Os 6,2; Giob 33,29; Eccli 23,16); 3+4 (Am 1- 2; Prov 30, 15-33; Eccli 26, 5).

Quanto all’infinito, la dimora celeste di Dio certamente evoca in primo luogo la sua lontananza, ma, come l’onnipresenza del cielo attorno all’uomo, significa pure la sua presenza vicinissima. Più di un testo associa in modo esplicito questa infinita distanza e questa prossimità, ad esempio la scala che Giacobbe vide a Bethel, « che poggiava sulla terra, mentre la sua cima raggiungeva il cielo » (Gen 28, 12)

Infine un consiglio di lettura, il libro del divulgatore scientifico astrofisico e divulgatore scientifico israeliano Mario Livio: Dio è un matematico. La scoperta delle formule nascoste dell’universo

Dante e la scienza

Mentre al giorno d’oggi dobbiamo quasi tutti scegliere se avere una formazione umanistica o scientifico-tecnica, l’uomo colto del Medioevo non concepiva il sapere a “compartimenti stagni” come noi: così con Dante, l’uomo del Medioevo per eccellenza, la descrizione dei fenomeni naturali in chiave estetica non prescinde dai principi fisici che li governano.

Dante infatti, che nel Convivio si offre di distribuire pane e vivande (scienza e poesia) ai suoi commensali, tocca nelle sue opere davvero innumerevoli aspetti del sapere umano (“canoscenza” umana, per dirla con le sue parole), spaziando in mol: non solo la filosofia, la teologia, l’etica, la politica, le lettere e le arti in generale, ma anche la medicina, le scienze naturali, la geografia, la fisica e l’astronomia.

Di seguito sono riportati solo alcuni dei numerosissimi richiami alla scienza presenti negli scritti del sommo poeta.

Dante e la geologia

Come Dante comincia il suo viaggio dall’Inferno, cosi noi cominciamo il nostro excursus dalle viscere della terra.

Proprio nell’Inferno dantesco si trovano riferimenti a terremoti, idrogeologia, depositi di travertino, struttura delle montagne, modellamento del paesaggio, per poi arrivare, nel viaggio verso il Paradiso, alla struttura del pianeta Terra e dell’intero cosmo.

Molte delle teorie abbracciate da Dante riguardo alle scienze della Terra potrebbero farci sorridere, alla luce di ciò di cui siamo consapevoli ora, ma bisogna tener conto dello stadio totalmente nebuloso in cui versavano le conoscenze del tempo al riguardo; basti pensare che lo stesso termine “geologia” non era ancora stato coniato.

Nella visione dantesca, che come vedremo successivamente concepisce la forma della Terra non piatta, ma sferica, solo l’emisfero settentrionale risultava occupato da terre emerse e abitato (non vi era logicamente ancora conoscenza di America, Australia e Africa centro-meridionale), con Europa, Asia e Africa che costituivano la gran secca, di profilo semicircolare.

Si immaginava invece che l’emisfero meridionale fosse occupato dalle acque del grande oceano, probabilmente eredità diretta di Aristotele che considerava l’emisfero nord come sede della generatio e corruptio, mentre l’emisfero sud, dove Dante posiziona la montagna del Purgatorio, era considerata il mondo sanza gente.

Dante riesce a comunicare tutto questo con la bellezza dei suoi versi, quando nel Canto XXVI descrive il folle volo di Ulisse, che lancia i suoi compagni e la sua conoscenza oltre il limite invalicabile delle Colonne d’Ercole:

“O frati”, dissi “che per cento milia
perigli siete giunti all’occidente,
a questa tanto picciola vigilia
de’ nostri sensi ch’è del rimanente,
non vogliate negar l’esperienza,
di retro al sol, del mondo sanza gente.

Diversi e numerosi sono i riferimenti geomorfologici presenti nell’Inferno, in cui Dante riesce a usare sapientemente vere e proprie metafore geomorfologiche, come nella famosa contrapposizione tra valle (sede della selva oscura), che rappresenta l’aberrazione e il peccato, e il colle (chiamato anche dilettuoso monte), che rappresenta l’armonia e la virtù, presente nel primo Canto dell’Inferno:

Ma poi ch’i’ fui al piè d’un colle giunto,
là dove terminava quella valle
che m’avea di paura il cor compunto

Picture
Dante e le tre fiere (G. Stradano, 1587)

Nel Canto IX dell’Inferno Dante descrive invece in modo quasi scientifico il fenomeno di un uragano estivo, usando l’espressione impetuoso per li avversi ardori riferendosi alla forza del vento attratto in zone di aria calda e rarefatta:

E già venía su per le torbide onde
un fracasso d’un suon, pien di spavento,
per che tremavano amendue le sponde,
non altrimenti fatto che d’un vento
impetuoso per li avversi ardori,
che fier la selva e senz’alcun rattento
li rami schianta, abbatte e porta fori;
dinanzi polveroso va superbo,
e fa fuggir le fiere e li pastori.


Tra i riferimenti più strettamente geologici, i più numerosi sono quelli riferiti a terremoti e fenomeni sismici in generale. Ne troviamo traccia nel III Canto dell’Inferno, quando Dante descrive mirabilmente lo spavento dovuto a un forte terremoto:

Finito questo, la buia campagna
tremò sí forte, che dello spavento
la mente di sudore ancor mi bagna.
La terra lagrimosa diede vento,
che balenò una luce vermiglia
la qual mi vinse ciascun sentimento;
e caddi come l’uom che ’l sonno piglia

Uno dei riferimenti più famosi è trovato tuttavia nel Canto XII dell’Inferno, dove il Poeta parla dei Lavini di Marco, un gruppo di frane oloceniche tra Rovereto e Serravalle, famose per aver portato alla luce impronte di dinosauro del Giurassico Inferiore.

I due viaggiatori degli inferi stanno scendendo lungo un sentiero impervio e irregolare, quando Dante invoca l’immagine familiare della valle dell’Adige:

Era lo loco ov’ a scender la riva
venimmo, alpestro e, per quel che v’er’ anco,
tal, ch’ogne vista ne sarebbe schiva.
Qual è quella ruina che nel fianco
di qua da Trento l’Adice percosse,
o per tremoto o per sostegno manco,
che da cima del monte, onde si mosse,
al piano è sì la roccia discoscesa,
ch’alcuna via darebbe a chi sù fosse:
cotal di quel burrato era la scesa;


Il termine alpestro in Dante indica ‘montagna’ in senso generale, senza riferirsi necessariamente al sistema alpino.

Nell’interpretazione della gigantesca frana, Dante cita due possibili spiegazioni scientifiche, un fenomeno sismico (per tremoto) o una erosione a opera delle acque che, scalzando alla base il pendio, ne ha causato il crollo (per sostegno manco).


Nel canto XIV dell’Inferno Dante e Virgilio passano attraverso un deserto sabbioso (rena arida e spessa) camminando lungo gli argini di un fiume ribollente che si diparte dal Flegetonte:

Tacendo divenimmo là ‘ve spiccia
fuor de la selva un picciol fiumicello,
lo cui rossore ancor mi raccapriccia.
Quale del Bulicame esce ruscello
che parton poi tra lor le peccatrici,
tal per la rena giù sen giva quello.
Lo fondo suo e ambo le pendici
fatt’era ‘n pietra, e ‘ margini da lato;
per ch’io m’accorsi che ‘l passo era lici.


Anche in questo caso il poeta descrive dettagliatamente la geologia del luogo attraversato per spiegare le caratteristiche del ruscello che scorre nell’Inferno, menzionando al riguardo le sorgenti di acqua solfurea situate vicino a Viterbo e conosciute con il nome di Bullicame.

Oltre al ribollire classico della acque, tipico di contesti solfurei, il poeta puntualizza che, come per il Bullicame, il fondo e i margini erano costituiti in pietra (Fatt’era ’n pietra, e’ margini da lato), quindi cementati e duri se comparati ai sedimenti sabbiosi sciolti appena attraversati da Dante e Virgilio: i margini litificati del Bullicame sono formati esattamente dalle incrostazioni di travertino idrotermale, con deposizione di carbonato catalizzato dall’azione di attività microbiale, tesi ritenuta non corretta dall’esegeta di Dante Sapegno, ma invece sorprendentemente valida.

Il riferimento di Dante alla formazione del travertino è stato così antico e importante da ricevere il plauso persino da uno dei padri della geologia dei carbonati, Robert L. Folk, che, riferendosi al passo dell’Inferno, lo definisce come “sicuramente uno dei primi esempi descritti di diagenesi dei carbonati”.


Le formazioni geologiche vengono citate in causa anche nell’invettiva del Canto XV contro Firenze, da cui il poeta è stato esiliato:

Ma quello ingrato popolo maligno
che discese di Fiesole ab antico,
e tiene ancor del monte e del macigno


Il Sommo Poeta menziona qui il termine macigno per denotare un elemento caratteristico del paesaggio dove vivono gli “ingrati” fiorentini, riferendosi molto probabilmente al litotipo affiorante estesamente nel territorio Toscano (ma anche in Liguria, Emilia Romagna, Umbria e Lazio): “Macigno” è infatti un classico e antico termine litostratigrafico italiano.

In questo articolo, da cui ho attinto molte informazioni, e in questo studio si trovano maggiori dettagli sulla presenza di riferimenti alla geologia nell’opera di Dante.

Dante e la geografia

Nella Divina Commedia compaiono molti riferimenti e molte similitudini afferenti agli elementi paesaggistici che Dante conosceva direttamente o indirettamente: ad esempio quando cita gli affluenti del Po (seguaci sui) nel canto V dell’Inferno:

Siede la terra dove nata fui
sulla marina dove ’l Po discende
per aver pace co’ seguaci sui

Nel Canto XXXII il poeta nel descrivere il fondo dell’Inferno, occupato dal lago ghiacciaio di Cogito, si riferisce al Danubio e al Don e menziona i cieli di Russia: il ghiaccio del lago era talmente spesso e duro che non avrebbe ceduto neanche se un intera montagna vi fosse caduta dentro:

Non fece al corso suo sì grosso velo
di verno la Danoia in Osterlicchi,
né Tanaï là sotto ’l freddo cielo,
com’era quivi; che se Tambernicchi
vi fosse sù caduto, o Pietrapana,
non avria pur da l’orlo fatto cricchi.

Nel Canto VII, nel descrivere gli avari e i prodighi, condannati a correre da direzioni opposte e urtarsi, Dante usa il fenomeno naturale causato dall’urto delle onde del mar Ionio contro quelle del Tirreno nello stretto di Messina, descritto anche nell’Eneide di Virgilio:

Come fa l’onda là sovra Cariddi,
che si frange con quella in cui s’intoppa,
così convien che qui la gente riddi;

Dante e l’etologia

Nei versi di Dante si trovano chiari riferimenti all’organizzazione degli esseri viventi, con particolare riferimento al loro comportamento (etologia), utilizzata come sorgente primaria di metafore con implicazioni prettamente etiche. 

Questo è il mio suggerimento per approfondire:

Dante e la matematica

I riferimenti matematici nelle opere di Dante sono molti e significativi: ho scritto un intero articolo al riguardo e inoltre molti spunti si trovano in questo libro di Bruno d’Amore:

D'Amore Bruno – RSDDM
Bruno d’Amore – La matematica nell’opera di Dante Alighieri

Dante e l’astronomia

L’astronomia è per Dante la scienza più nobile, paragonata a Saturno, il pianeta più lontano dalla terra, quindi più alto e più difficilmente raggiungibile.

La Divina Commedia è infatti ricchissima di riferimenti astronomici.

Nell’incipit dell’Inferno, sembra quasi che Dante si riferisca ai buchi neri, regioni dello spazio-tempo costituiti da stelle infinitamente dense che collassano su se stesse e in cui c’è un orizzonte degli eventi che è un punto di non ritorno (anche se Dante in realtà è riuscito a uscire dall’Inferno):

Lasciate ogne speranza, voi ch’intrate

Nel I Canto del Paradiso Dante descrive l’ordine dell’Universo:

Le cose tutte quante
hanno ordine tra loro, e questo è forma
che l’universo a Dio fa simigliante
Qui veggion l’alte creature l’orma
de l’etterno valore, il qual è fine
al quale è fatta la toccata norma.
Nell’ordine ch’io dico sono accline
tutte nature, per diverse sorti,
più al principio loro ve men vicine.

Il sistema a cui si riferisce Dante è geocentrico, ma la Terra di Dante è una sfera, a dispetto del pensiero comune che vuole l’uomo medievale “terrapiattista”.

D’altronde anche gli antichi greci avevano intuito che la Terra fosse di forma sferica e nel III secolo a.C. Eratostene di Cirene (città che si trova nell’odierna Libia) misurò addirittura il raggio della Terra ottenendo una misura che differisce solo del 5% dal valore attualmente conosciuto.

Ma lo spazio di Dante è molto più complesso di quanto si possa immaginare: nel Canto XXVII del Paradiso Dante presenta l’Empireo come un cerchio di luce e amore che circonda il Primo Mobile, proprio così come quest’ultimo circonda e avvolge gli altri cieli sottostanti:

Luce e amor d’un cerchio lui comprende,
sì come questo li altri; e quel precinto
Colui che ‘l cinge solamente intende

Quando nel XXVIII Canto del Paradiso Dante e Beatrice si affacciano al Primo Mobile, Dante afferma di trovarsi davanti un altro universo, che corrisponde al cerchio che più ama e che più sape.

L’universo di Dante ha la Terra al centro, con i gironi infernali al suo interno e circondata dai pianeti, dal cielo e delle stelle fisse, poi dal Primo Mobile e infine dall’Empireo, sede esclusiva del divino, ma presenta anche una struttura aggiuntiva, che si trova separata, al di fuori del Primo Mobile, composta dai nove cerchi angelici, e la candida rosa, che appare normalmente in una zona intermedia dello schema dantesco.

In questa visione il punto che rappresenta Dio risulta essere il centro dell’universo, e al tempo stesso lo circonda in ogni direzione, come Dante esplicitamente afferma nel XXX Canto del Paradiso: parendo inchiuso da quel ch’elli ‘nchiude.

Quindi, anche se a un occhio superficiale l’universo di Dante sembra geocentrico, il punto dal quale ha avuto origine l’universo (da quel punto depende il cielo e tutta la natura) è proprio il centro di tutto e la sede dell’amore che move il sole e l’altre stelle e non sembra proprio appartenere alla Terra.

Secondo il matematico tedesco Andreas Speiser l’universo di Dante in realtà è concepito non come uno schema dei cerchi concentrici su un foglio piano, ma come sfere concentriche immerse in uno spazio che non è solo tridimensionale, ma presenta una quarta coordinata (ottenendo una 3-sfera o ipersfera): concetto difficile da capire anche per noi, nonostante ora siano stati scoperti gli strumenti matematici per descrivere questi tipi di geometrie non euclidee, ma che risulta davvero sorprendente se pensiamo che sia stato un uomo del Medioevo a concepirlo!

Per maggiori dettagli riguardo all’universo di Dante rimando a questo video della Professoressa Elena Tenze:

e il seguente libro:

Dante e la luce

Dante descrive la luce in molte delle sue molteplici manifestazioni:

La luce, per il suo valore simbolico e al tempo stesso per la varietà e la bellezza delle sue manifestazioni fisiche, gioca un ruolo centrale nella scenografia della Commedia. Così, ad esempio, uno dei fenomeni più spettacolari che ha per protagonista la luce, l’arcobaleno, viene descritto nel canto XVV del Purgatorio:

E come l’aere, quand’è ben pïorno,
per l’altrui raggio che ‘n sé si reflette,
di diversi color diventa addorno.

Nel XII canto del Paradiso, Dante descrive i cerchi concentrici formati dagli spiriti sapienti, tra cui San Tommaso e San Bonaventura, ricorrendo al paragone con i “due archi paralleli e concolori” dell’arcobaleno:

Come si volgon per tenera nube
due archi paralleli e concolori,
quando Iunone a sua ancella iube,
nascendo di quel d’entro quel di fori,
a guisa del parlar di quella vaga
ch’amor consunse come sol vapori

Il doppio arcobaleno a Firenze, che magia

Gli arcobaleni secondari sono provocati da una doppia riflessione della luce solare dentro le gocce di pioggia, con il risultato che i colori dell’arcobaleno secondario sono invertiti in confronto a quelli del primario, con il blu all’esterno e il rosso all’interno.

Doppia riflessione per gli arcobaleni secondari

Dante abbozza anche una spiegazione del meccanismo fisico che causa l’arcobaleno, che appare quando la luce del sole (l’altrui raggio) si riflette nell’aria (in sé si riflette) quando è densa di umidità (ben pïorno).

Sempre nel XV canto del Purgatorio Dante spiega il fenomeno della riflessione, consistente nella deviazione rispetto alla verticale (indicata come il cader della pietra) di un angolo di valore pari a quello dell’angolo di incidenza (tanto si diparte).

Come quando da l’acqua o da lo specchio
salta lo raggio a l’opposita parte,
salendo su per lo modo parecchio
a quel che scende, e tanto si diparte
dal cader de la pietra in igual tratta,
sì come mostra esperïenza e arte;

L’angolo di incidenza e di riflessione

Proprio con un’immagine di luce (la mia mente fu percossa da un fulgore) Dante sceglie di concludere la Divina Commedia, e concludo io così la mia analisi, sottolineando come Dante ci mostra che l’uomo del Medioevo, periodo visto nell’immaginario collettivo come un’epoca buia e in cui imperavano ignoranza e superstizione, fosse molto più illuminato di quanto siamo abituati a pensare.

Per una ricostruzione più completa dell’universo scientifico di Dante Alighieri:

Similitudini utili per capire i circuiti elettrici

Avendo studiato l’elettricità solo in occasione dell’esame di Fisica II all’università (l’ultimo esame che ho sostenuto tra l’altro, il che era concesso in quanto avendo studiato Ingegneria ambientale non era propedeutico ad altre materie) quando si è trattato di ripassarla per fare ripetizioni ho cercato di aiutarmi il più possibile con similitudini afferenti ad aspetti della fisica che conosco meglio, ad esempio l’idraulica (quella sì che l’ho studiata bene, dato che sono quasi un ingegnere “fogniario”)

Mi sono basata sul libro di fisica Amaldi per il liceo scientifico, in cui questo argomento è spiegato abbastanza bene.

La corrente elettrica, una delle 7 grandezze fondamentali del Sistema Internazionale, è definita come un moto ordinato di cariche elettriche o di ioni.

In un conduttore questo moto coinvolge in genere le cariche negative, cioè gli elettroni.

Un generatore di tensione crea una specie di “squilibrio” che fa muovere le cariche, come se fossero biglie che si mettono in moto quando incliniamo un piano: le cariche tendono a colmare lo squilibrio creato passando da una zona all’altra.

Il verso della corrente si considera opposto a quello in cui viaggiano gli elettroni:

La differenza di potenziale è lo squilibrio che genera questo movimento: mentre le cariche positive tendono a muoversi verso punti a potenziale più basso, quelle negative si muovono naturalmente da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.

Ciò è dovuto al fatto che le particelle tendono spontaneamente a diminuire la loro energia potenziale, come un auto che tende a scendere quando si trova in un pendio (ΔU=Ufin-Uin<0, poiché Ufin<Uin).

Per le cariche positive la differenza di potenziale ha lo stesso segno della differenza di energia potenziale:

ΔV=ΔU/q e q è positiva, quindi ΔV=Vfin-Vin<0 e Vfin<Vin

e le cariche positive tendono a muoversi spontaneamente da punti con potenziale maggiore a punti con potenziale minore

Per le cariche negative, invece, la differenza di potenziale ha segno opposto a quello della differenza di energia potenziale:

ΔV=ΔU/q e q è negativa, quindi ΔV=Vfin-Vin>0, Vfin>Vin

e le cariche negative tendono a muoversi spontaneamente da punti con potenziale minore a punti con potenziale maggiore.

Un circuito elettrico è formato da diversi contribuenti:

  • uno o più generatori (ad esempio pile), che causano la differenza di potenziale
  • dei fili metallici, che fungono da conduttori
  • uno o più dispositivi che si accendono al passare della corrente (ad esempio lampadine).

Una delle caratteristiche di un circuito è l’intensità della corrente che fluisce all’interno di esso, definita dalla quantità di carica che attraversa una sezione di un conduttore in un certo intervallo di tempo.

L’intensità di corrente, quindi, di esprime come rapporto tra la carica elettrica e l’intervallo di tempo e viene misurata in C/s, che nel Sistema Internazionale si indica come ampere (A):

Per convenzione si considera come verso di percorrenza della corrente elettrica quello che percorrono le cariche positive, che quindi va dai punti a potenziale più alto verso i punti a potenziale più basso.

L’intensità di corrente, poi, può essere costante (corrente elettrica continua) o variabile nel tempo.

i=ΔQ/Δt

Quando varia nel tempo è preferibile descriverla come la derivata della carica sul tempo:

Le cariche elettriche tenderebbero a muoversi spontaneamente per effettuo di una iniziale differenza di potenziale, ma questa, con il fluire delle cariche, diminuirebbe progressivamente fino ad annullarsi; a questo punto si fermerebbero anche le cariche elettriche, ponendo fine al flusso di corrente.

Per mantenere un flusso di corrente continuo è necessario un generatore, che permetta di ristabilire costantemente la differenza di potenziale.

Per farlo, il generatore trasporta le cariche positive da dove il potenziale è più basso per portarle dove è più alto, così da permettere loro il moto naturale verso punti a potenziale minore; questo processo, per un generatore ideale di tensione continua, avviene sempre e costantemente.

Il generatore può essere paragonato a una pompa, che trasferisce energia potenziale all’acqua, elevandola a una certa altezza, dandole la possibilità di cadere attraverso le tubazioni e di ripercorrere continuamente un circuito chiuso.

I diametri dei tubi simulano la resistenza e la portata dell’acqua simula la corrente.

La corrente riesce a passare o meno a seconda che i circuiti elettrici siano chiusi o aperti. I circuiti, inoltre, possono avere collegamenti in serie e in parallelo.

Un circuito collegato in serie viene attraversato dalla stessa corrente elettrica in ognuno dei suoi punti: i resistori si trovano disposti in successione tra loro.

Circuito elettrico con collegamenti in serie.

Un circuito in serie può essere paragonato a una cascata che si divide in più salti vista di profilo:

Un circuito in cui i conduttori sono collegati in parallelo, invece, è caratterizzato dal fatto che i conduttori hanno tutti le estremità connesse tra loro; di conseguenza essi sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale.

Circuito elettrico con collegamenti in parallelo.

Un collegamento in parallelo può essere paragonato a una cascata che si divide in più rivoli vista di fronte:

In entrambi i casi la resistenza è come un individuo dispettoso che cerca di impedire alla corrente di passare, mentre la differenza di potenziale cerca di far scorrere il traffico… e questa che segue è la rappresentazione migliore della prima legge di Ohm!

Infine, qualche video interessante:

La biochimica nella vita quotidiana

Comprendendo la chimica organica e la biochimica è possibile capire molti aspetti della nostra vita quotidiana e dopo aver letto questo articolo non vedrete più il miele come semplice miele, ma vi riconoscerete dentro le molecole di glucosio e di fruttosio!

Infatti il miele è fatto di nettare di fiori, nel quale sono presenti fruttosio e glucosio, due diversi tipi di zuccheri semplici, tra cui solo il glucosio tende a separarsi dall’acqua e a precipitare sotto forma di cristalli, quindi, nel caso in cui il glucosio sia presente in quantità maggiore, il miele cristallizza più rapidamente, mentre se c’è più fruttosio resta liquido più a lungo.

Entrambi questi due zuccheri sono composti ternari, cioè fatti di soli atomi di carbonio, ossigeno e idrogeno, ma la loro forma è leggermente diversa (le sfere nere rappresentano il carbonio, quelle rosse l’ossigeno e quelle bianche l’idrogeno):

Il glucosio è esoso (anello di 6 atomi)
Il fruttosio è pentoso (anello di 5 atomi)

Sono due zuccheri semplici, a differenza ad esempio del lattosio, formato dal legame tra il glucosio e un altro zucchero semplice, il galattosio, legame difficile da scindere per coloro che non hanno più l’enzima giusto per farlo (intolleranza al lattosio):

Altri composti importanti sono gli alcoli, che presentano il gruppo -OH e possono rappresentati così:

Anche con i modellini tridimensionali:

Ecco qui una descrizione dell’etanolo ad esempio, tratta dal libro di Chimica Organica, biochimica e biotecnologie della Zanichelli :

Quanti di noi hanno invece usato l’acetone nella vita?

Ecco come si rappresenta la molecola di acetone,

Con i modellini:

L’acetone fa parte del gruppo dei chetoni (le famose molecole della dieta chetogenetica, che si formano dalla demolizione degli acidi grassi quando finiamo gli zuccheri a nostra disposizione e per essere utilizzati nel nostro metabolismo hanno bisogno di coinvolgere il fegato):

Parliamo adesso del benzene, una molecola caratterizzata da risonanza, il che vuol dire che i suoi legami cambiano continuamente posizione:

In pratica gli elettroni sono un po’ qua e un po’ là… tanto da formare una nube elettronica:

Questa nube è spesso rappresentata come un cerchio dentro l’esagono, come ad esempio nella molecola del paracetamolo, derivata dal benzene… pensateci, la prossima volta che prendete una tachipirina!

Ecco la molecola derivata dal benzene da cui si forma il paracetamolo: il fenolo, che come gli alcoli presenta un gruppo -OH:

Spero che non dobbiate prendere la tachipirina e preferisco che vi prepariate una bella insalata, condendola con quel liquido che contiene acido acetico e che proprio dall’aceto prende il suo nome. Appartiene alla categoria degli acidi carbossilici ed eccolo qui:

Per concludere riporto un po’ di schemi utili:

Dante e la matematica

Il 2021 è lanno di Dante, in quanto si commemorano i settecento anni dalla sua morte: le iniziative dantesche proseguiranno per tutto l’anno e avranno il loro culmine il 25 marzo con il Dantedì, data scelta in quanto è stata ipotizzata come il giorno di inizio del viaggio simbolico di Dante nella Divina Commedia.

È innegabile che Dante abbia lasciato un’enorme eredità nella nostra cultura, ad esempio nei modi di dire che tuttora usiamo.

Ciò che non tutti sanno è che Dante, pur essendo un letterato, era un uomo che possedeva una vasta cultura generale e conosceva molto bene la scienza in genere e anche la matematica, almeno rispetto alla maggior parte degli uomini del suo tempo… e anche del nostro forse!

D'Amore Bruno – RSDDM
Bruno d’Amore – La matematica nell’opera di Dante Alighieri

Facciamo dunque un viaggio attraverso le sue opere alla scoperta degli aspetti matematici che vi si trovano.

Nel seguente video, registrato in occasione di un evento organizzato dalla pagina Facebook del Planetario di Ravenna (che ringrazio, perché proprio grazie a questa iniziativa ho cominciato a essere incuriosita riguardo al rapporto tra Dante e la matematica), la Professoressa Elena Tenze espone in modo chiaro e accurato i riferimenti matematici contenuti nella Divina Commedia, in particolare nel Paradiso, e anche nel Convivio.

LA MATEMATICA NEL CONVIVIO

Cominciamo dunque il nostro viaggio dal Convivio, in cui troviamo questo passo:

La Geometria si muove intra due repugnanti a essa, sì come ‘l punto e lo cerchio – e dico ‘cerchio’ largamente ogni ritondo, o corpo o superficie -; chè, sì come dice Euclide, lo punto è principio di quella, e, secondo che dice, lo cerchio è perfettissima figura in quella, che conviene però avere ragione di fine. Sì che tra ‘l punto e lo cerchio sì come tra principio e fine si muove la Geometria, e questi due a la sua certezza repugnano; che lo punto per la sua indivisibilità è immensurabile, e lo cerchio per lo suo arco è impossibile a quadrare perfettamente, e però è impossibile a misurare a punto. E ancora la Geometria è bianchissima, in quanto è sanza macula d’errore e certissima per sè e per la sua ancella, che si chiama Perspettiva.

La Geometria viene definita bianchissima, sanza macula d’errore e certissima, grazie alla certezza e indubitabilità dei postulati e del metodo induttivo che Dante aveva appreso da Euclide.

Inoltre Dante precisa che essa si muove intra due repugnanti, il punto e il cerchio, che ne respingono la certezza, perché, per quanto le leggi di Euclide e di Pitagora possano essere rigorose e precise, la geometria è costretta a muoversi tra i misteri e i paradossi che caratterizzano la natura di queste due entità.

Lo punto è principio: negli elementi di Euclide al punto è riservata la prima delle definizioni del primo libro, in cui si indica che il punto è quell’ente fondamentale della geometria che non ha parti.

Lo punto per la sua indivisibilità è immensurabile: sia la definizione di Euclide del punto che quella che ne dà Pitagora (punto come oggetto indivisibile di misura minima che occupa uno spazio) si scontrano inesorabilmente con dei paradossi: la defizione di Euclide ad esempio con il paradosso di Zenone (segmento infinitamente divisibile, pur essendo finito) e quella di Pitagora con l’incommensurabilità del rapporto tra due numeri interi, ad esempio proprio quelli trattati dal suo teorema, la diagonale e il lato di un quadrato.

Lo cerchio è perfettissima figura: Dante associa il cerchio a immagini divine, come esemplificato dai seguenti passi, tratti dal Paradiso:

Lo cerchio per lo suo arco è impossibile a quadrare perfettamente: quadrare una figura piana per i greci consisteva nel costruire un quadrato che avesse la stessa area della figura utilizzando solo il compasso e la riga non graduata e come sappiamo è impossibile farlo per il cerchio senza essere costretti ad approssimare (cliccare qui per approfondire).

Ad ogni modo, sia il punto che il cerchio sono entità ineffabili per l’uomo, che rappresentano i due estremi inconcepibili di una geometria che per il resto appare limpida e pienamente comprensibile.

LA MATEMATICA NELLA DIVINA COMMEDIA

Nella Divina Commedia molti sono gli spunti di collegamento con la matematica, sia direttamente proposti da Dante, sia indirettamente rintracciabili tra i suoi passi.

Il Paradiso è la cantica più ricca in assoluto di riferimenti matematici.

Da rimarcare sono i significati dei numeri presenti nella struttura della Divina Commedia, divisa in 3 cantiche, ognuna divisa in 33 canti (il 3 è il numero più legato alla spiritualità, rappresentando la Trinità), per un totale di 33×3=99 canti, a cui va aggiunto il primo canto generale dell’introduzione che si trova nell’Inferno.

I cerchi dell’Inferno e i cieli del Paradiso sono 9 (il 9, essendo quadrato di 3, rappresenta la perfezione massima), le cornici del Purgatorio 7 (essendo il 3 il numero divino e 4 il numero legato al mondo materiale – infatti ad esempio 4 sono le stagioni, i punti cardinali, gli elementi naturali, 7 è il numero che rappresenta l’unione tra la spiritualità e il mondo fisico).

LA MATEMATICA NELL’INFERNO

In questo video il Professor Guido Trombetti espone in modo molto affascinante il rapporto tra le opere di Dante e la matematica, mettendole in collegamento con il pensiero scientifico dell’epoca e carpendo anche un aspetto di logica in alcuni versi dell’Inferno riguardo ai peccatori volontari.

Il Professor Trombetti spiega nel suo video la struttura dell’universo come tre sfera (a quattro dimensioni) e offre uno spunto interessante su come calcolare l’altezza di Lucifero, che si trova all’estremità del cono rovesciato che è la forma dell’Inferno e che è stata calcolata, seguendo i riferimenti di Dante, anche da Galileo Galilei.

Il calcolo dell’altezza di Lucifero è approfondito bene dal punto di vista matematico in questo video, realizzato in modo accurato e interessante da un Professore di matematica e una Professoressa di lettere per riassumere il percorso interdisciplinare seguito con i propri studenti del Liceo delle Scienze Umane Fabrizio De Andrè.

LA MATEMATICA NEL PURGATORIO

Nel Canto VI del Purgatorio, nel punto in cui si trovano le anime dei negligenti, ossia coloro che nel corso della loro vita terrena hanno omesso di adempiere ai loro doveri spirituali e aspettano il momento dell’espiazione e nei seguenti versetti (Purg. IV, 1-3) si cita un gioco d’azzardo diffuso nel Medioevo: il gioco della zara.

Quando si parte il gioco de la zara,
colui che perde si riman dolente,
repetendo le volte, e tristo impara

La parola zara deriva dall’arabo zahr, che significa dado, e dalla stessa parola deriva l’espressione “gioco d’azzardo”. I giocatori dovevano lanciare a turno tre dadi a sei facce e, prima che i dadi rivelassero ciascuno un numero, dovevano pronunciare a voce alta il numero che secondo loro sarebbe risultato come somma dei tre numeri rivelati dai dadi. Di seguito si trova una piccola trattazione statistica sul funzionamento di questo gioco, fatta anche utilizzando Excel, da cui possiamo capire che ci sono dei concetti dietro che i perdenti dovevano mestamente cercare di imparare, a forza di ripetere le loro giocate, in modo da capire quali somme hanno ricorrenza più alta (non avendo Excel e non essendo ancora stata teorizzato il calcolo della probabilità).

Ecco il funzionamento statistico del gioco della Zara: la somma non potrà essere minore di tre né maggiore di diciotto, inoltre queste ultime due somme sono quelle che hanno meno probabilità di uscire, perché combinazioni dei valori risultanti 1+1+1 e 6+6+6.

L’unica combinazione possibile che possa dare 3 è 1+1+1, e siccome ciascuno di questi tre numeri ha probabilità 1/6 di uscire, secondo la regola della probabilità che si verifichino contemporaneamente 2 o più eventi tra loro indipendenti, che prevede di moltiplicare le singole probabilità tra loro, si avrà 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216, pari a circa lo 0,46%, una percentuale molto bassa!

Analogo discorso si può fare per il 18. A causa della probabilità così bassa di ottenere queste due somme, il 3 e il 18 erano considerati valori nulli e venivano chiamati azari. Erano considerati azari anche il 4 e il 17, per i quali la probabilità di uscita non è sempre di 1/216, bensì tripla, ossia 3/216, poiché è maggiore la quantità di combinazioni possibili che forniscono tali numeri.

Nelle tabelle riportate di seguito (presenti nel file Excel che potete scaricare di seguito) sono riportate tutte le combinazioni possibili nel gioco della Zara e sono poi evidenziate le probabilità di ottenere ciascuna somma, con la relativa curva Gaussiana: si vede chiaramente come il 10 e l’11 siano i valori su cui è consigliabile giocare, dato che esistono ben 27 possibili combinazioni che possono far uscire queste somme; per gli altri le probabilità di uscita sono inferiori.

Agli uomini del tempo, non avendo Excel, non rimaneva che “repetere le volte” fino a capire quali erano i valori con una maggiore probabilità di uscire. 

Le precedenti immagini riguardanti il gioco della Zara sono tratte da questo file Excel, liberamente scaricabile:

LA MATEMATICA NEL PARADISO

Cominciamo a trattare la matematica nel Paradiso dal canto finale, dove viene ripresa l’impossibilità della quadratura del cerchio già affrontata nel Convivio (Par. XXXIII, 133-138).

Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige 
per misurar lo cerchio, e non ritrova, 
pensando, quel principio ond’elli indige,
                

tal era io a quella vista nova: 
veder voleva come si convenne 
l’imago al cerchio e come vi s’indova;

Qui Dante mette in relazione il mistero della Trinità con un altro mistero impossibile da risolvere che ha afflitto i matematici dall’alba dei tempi: la quadratura del cerchio, per cui sarebbe necessario conoscere l’entità precisa del numero π, che è numero irrazionale e trascendente (per dettagli sul π vedere qui)

Il problema della quadratura del cerchio viene utilizzato da Dante anche per “sbeffeggiare” Brisso, che pensò (sbagliando) di aver risolto il problema della quadratura del cerchio:

Vie più che indarno da riva si parte,
Perché non torna tal qual ei si muove,
Chi pesca per lo vero, e non ha l’arte:
E di ciò sono al mondo aperte prove
Parmenide, Melisso e Brisso e molti,
I quali andavan, nè sapevan dove.

Nel paradiso ci sono molti altri riferimento alla geometria, descritti molto bene dalla Professoressa Tenze nel video sopra citato. Li elencherò di seguito:

IMPOSSIBILITÀ DI AVERE DUE ANGOLI OTTUSI IN UN TRIANGOLO (Par XVIII, 13-18)

Dante si rivolge a Cacciaguida così

“… O cara piota mia che sì t’insusi,
che, come veggion le terrene menti
non capere in trïangol due ottusi,
così vedi le cose contingenti
anzi che sieno in sé, mirando il punto
a cui tutti li tempi son presenti …”

Con queste parole Dante intende dire: “O cara radice della mia famiglia, che così in alto t’innalzi al punto tale che, come la mente dei mortali vede che due angoli ottusi non possono essere contenuti in un triangolo, con la stessa chiarezza discerni le cose che possono accadere o meno prima che si realizzino, contemplando la divina essenza, il punto in cui tutti i tempi sono presenti”.

Dante si serve di un esempio geometrico e cita indirettamente le proposizioni degli Elementi di Euclide 17 (In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti) e 32 (in ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti) per sostenere che per Cacciaguida prevedere il futuro è semplice come per un essere umano comprendere che in un triangolo non può esserci più di un angolo ottuso.

TUTTI I TRIANGOLI ISCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA SONO RETTANGOLI (Par VIII, 95-102)

Discutendo della sapienza di Salomone San Tommaso riferisce che

ei fu re, che chiese senno
acciò che re sufficiente fosse;
non per sapere il numero in che enno
li motor di qua su, o se necesse
con contingente mai necesse fenno;
non, si est dare primum motum esse,
o se del mezzo cerchio far si pote
trïangol sì ch’ un retto non avesse

Qui Dante fa due affermazioni, una che riguarda la fisica e l’altra la geometria: è impossibile che vi sia un moto primo, cioè a sua volta non causato da un altro moto ed è impossibile che esista un triangolo inscritto in una semicirconferenza ma non rettangolo Così Dante cita la proposizione 31 degli elementi di Euclide (ogni triangolo iscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo).

La professoressa Tenze menziona i seguenti due libri per approfondire il legame tra la matematica e le opere di Dante:

Bruno d’Amore – La matematica nell’opera di Dante Alighieri

Beniamino Andriani – Aspetti della scienza in Dante

Aspetti della scienza in Dante - Andriani, Beniamino - Libri - Amazon.it

Il Professor Trombetti si sofferma in modo mirabile sull’accenno di definizione di numeri naturali che avviene nel Paradiso (Par. XV, 55-57):

Tu credi che a me tuo pensier mei 
da quel ch’è primo, così come raia 
da l’un, se si conosce, il cinque e ‘l sei;  

Cacciaguida si rivolge qui a Dante affermando “Tu credi che il tuo pensiero venga a me da quello divino, così come dall’uno, se lo si conosce, derivano il cinque e il sei”. Questo concetto esprime in modo embrionale l’idea su cui si fonda la definizione dell’insieme dei numeri naturali (che verrà ufficializzata molti secoli più tardi da Peano), secondo la quale ogni numero differisce dal successivo e dal precedente di un’unità: Dante usa qui il 5 e il 6 come esempi di numeri naturali consecutivi (n e n+1).

Il professor Trombetti evidenzia anche che se Dante nelle sue opere non fa espliciti richiami alla numerazione di origine indiana/araba che usiamo tuttora e alla cui importazione nel mondo occidentale il suo contemporaneo Fibonacci diede una spinta decisiva, dai seguenti versi (XXVIII, 91-93) è facile capire che Dante venne a contatto con il Liber Abaci di Fibonacci e con la leggenda di Sissa Nassir sulla crescita esponenziale delle serie geometriche. (Per dettagli sulla leggenda della scacchiera e sulla crescita esponenziale cliccare qui)

L’incendio suo seguiva ogne scintilla;
ed eran tante, che ‘l numero loro
più che ‘l doppiar de li scacchi s’inmilla

Qui Dante ci indica che il numero degli angeli può essere calcolato con lo stesso procedimento con cui si possono calcolare i chicchi di riso sulla scacchiera come indicato da Sissa Nassir (chicchi di riso che diventano così tanti che tutta la superficie della terra non può bastare a produrli!), ma assume una quantità anche più impressionante, arrivando a essere pari a 10 elevato alla 192!

Infatti si tratta sempre di una serie geometrica, con crescita esponenziale, che ha ragione 1000 invece di 2.

A questo proposito anche i seguenti versetti (Par. XXIX, 133-135) ci illuminano sull’utilizzo che faceva Dante della quantità “mille”, che veniva utilizzata per indicare un numero estremamente grande e che serve al sommo poeta per coniare il verbo “immillarsi”, con il significato di crescere in modo impressionante e indefinito:

e se tu guardi quel che si revela 
per Daniel, vedrai che ‘n sue migliaia 
determinato numero si cela

Dante afferma qui che il numero degli angeli è talmente elevato che l’intelletto umano non è neppure in grado di concepirlo, e se Dante pensa alle parole di Daniele sull’argomento capirà che esse non indicavano l’esatto numero degli angeli visti, ma una quantità indeterminata. 

Dante utilizza dunque il numero mille per indicare una quantità grande e lo stratagemma della scacchiera per lasciarci intendere che il numero degli angeli è grande in modo umanamente inconcepibile e farlo senza utilizzare il concetto di infinito, che è destinato solo a Dio.

Parole chiave per i problemi di matematica

I problemi richiedono la trasposizione di dati e parole sotto forma di formule e disegni, quindi sostengo che la soluzione di un problema di matematica sia una sorta di traduzione, non da una lingua straniera all’altra, ma da parole scritte nella nostra lingua a formule e immagini.

Ho individuato le parole chiave per risolvere i problemi di matematica più tipici delle medie, stilandole in liste in modo da riportare sotto ogni operazione le parole chiave più frequenti a essa relative e da paragonare la somma con la sottrazione e il prodotto con la divisione:

ADDIZIONE VS SOTTRAZIONE
PRODOTTO VS DIVISIONE

Così si può individuare la distinzione tra le operazioni che aumentano (l’addizione e il prodotto), e le operazioni che diminuiscono (la sottrazione e la divisione).

La moltiplicazione può essere infatti vista come un’addizione un po’ particolare, in cui si addiziona la stessa quantità per un numero di volte, infatti il risultato è sempre più grande dei numeri da cui partiamo:

5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

La divisione può essere invece vista come una sottrazione un po’ particolare, in cui si sottrae una stessa quantità un numero determinato di volte:

10 : 5 = 10 – 2 – 2 – 2 – 2 = 2

Si possono svolgere semplici problemi che diano modo di individuare e capire a quale operazione sono abbinabili le parole che vi compaiono: ad esempio due problemi che vanno bene anche per le elementari possono essere questi di seguito.

Se 5 amiche decidono di mettere in un salvadanaio 2 monete ciascuna, quante monete finiscono nel salvadanaio?

Si tratta di mettere insieme, quindi uso il prodotto: 5 x 2 = 10

Se Mario ha 10 caramelle e deve distribuirle tra 5 amici, quante caramelle andranno a ciascun amico?

Si tratta di distribuzione, quindi uso la divisione: 10 : 5 = 2

Di seguito un esempio che va bene per le medie.

Due sorelle hanno una differenza di età di 8 anni e la più grande ha i 5/3 dell’età della più piccola. Quanti anni hanno?

Essendo la differenza 8, vuol dire che la più grande ha 8 anni più della più piccola, quindi possiamo scrivere: età grande – 8 = età piccola

Inoltre, tenendo conto del rapporto tra le due età, possiamo considerare che per ottenere l’età della grande devo dividere quella della piccola per 3 e poi moltiplicarla per 5, quindi scriviamo:

età della grande corrispondente con 5 quadretti

età della piccola corrispondente con 3 quadretti

differenza tra le 2 età corrispondente con 2 quadretti

Essendo la differenza tra le due età di 2 quadretti ed essendo inoltre tale a 8, individuiamo quanto vale ogni quadretto e per determinarlo dobbiamo pensare che questi 8 anni vanno distribuiti (divisi) in 2 quadretti, quindi dobbiamo usare la divisione:

valore di ogni quadretto = 8 : 2 = 4

Dopo aver determinato il valore di ogni quadretto possiamo determinare l’età delle due sorelle con questi prodotti:

età della piccola = 4 x 3 = 12

età della grande = 4 x 5 = 20

Si può anche determinare l’età di una sorella e poi l’età di un’altra usando la differenza così:

età della piccola = 4 x 3 = 12

età della grande = 12 + 8 = 20

… oppure così:

età della grande = 4 x 5 = 20

età della piccola = 20 – 8 = 12

Scrivete pure nei commenti se avete altre parole chiave da proporre per le operazioni esaminate.

La telenovela di Markovnikov

Prima di tutto riassumiamo cosa ci dice la regola di Markovnikov: “quando un reagente asimmetrico si addiziona a un alchene asimmetrico, la componente elettrofila si unisce all’atomo di carbonio a sua volta legato al maggior numero di atomi di idrogeno”.

Questo vuol dire che i carbocationi sono più stabili, cioè è più probabile che si formino, quando la carica positiva si trova in una posizione intermedia, come è evidente da questa immagine:

Adesso veniamo alla spiegazione fantasiosa…

Per quanto mi riguarda, ho sempre visto la chimica come una grossa telenovela.

Insomma, ci sono gli elementi della tavola periodica che stanno là come i personaggi di una telenovela, a sinistra quelli che non vedono l’ora di disfarsi degli elettroni che hanno esternamente, come i playboy più pericolosi, tipo l’idrogeno Ridge Forrester, a destra quelli che invece sono assetati di elettroni e appena possono ne catturano uno, tipo il cloro Broke Logan (che tra l’altro mi sembra che nella fiction sia proprio laureata in chimica), insomma quando si incontrano questi due fanno proprio faville insieme, uno che non vede l’ora di sbarazzarsi del suo elettrone e una che brama di averne uno in più… (scusate, ma ricordo solo Beautiful, perché la vedevano le mie coinquiline all’università).

How do you write the electron dot diagram of a hydrogen chloride molecule?  | Socratic

Ridge e Broke si mettono insieme e il loro rapporto non è assolutamente quello di due amici che mettono in comune tutto, anzi, Broke è un po’ prepotente e frega l’unico elettrone di Ridge, ma su questo si basa il loro legame.

Usando i modellini tridimensionali e i personaggi di Beautiful ho riprodotto la storia d’amore di Markonvikov…

Poi più al centro della tavola periodica ci sono i tipi più tranquilli (tipo il carbonio), che sono un po’ meno assetati di sesso, a loro piace di più avere rapporti di amicizia, infatti tendono ad essere considerati un po’ ibridi e qualche volta lo diventano davvero, come ad esempio quando decidono di diventare amici di un gruppo di idrogeni e formano gli alcani o gli alcheni, questo per dire che il carbonio in condizioni normali è abbastanza pacioccone, per niente aggressivo, forse come i fratelli minori di Ridge e di Broke, Thorn e Katie, che mi sembra fossero i romanticoni paciocconi della storia (a dire la verità non sono sicura che lo fossero sulla telenovela, ma facciamo finta che lo siano stati), cioè immaginiamo che fossero due carboni amici tra di loro e con altri idrogeni, in una bella armonia, incontrandosi abitualmente al locale “Alchene”, in modo simmetrico o in modo asimmetrico. Katie e Thorn sono dei carboni, quindi non vivono questa grande passione dovuta all’attrazione degli opposti come H Ridge e Cl Broke… ma a volte sono così affezionati tra di loro che sono legati proprio a doppio filo…

Ma cosa succede se una coppia esplosiva come HCl va a rompere le scatole al gruppo di amici che si incontra all’Alchene?

Eravamo (un po’ più di) 4 amici all’Alchene e… all’improvviso in una sera d’estate entrano H e Cl, esoter(m)icamente spinti da caldo che c’era fuori, allora, non paghi della loro relazione si separano, ma non si separano in buoni rapporti, perché il cloro Broke decide di tenersi l’elettrone dell’idrogeno Ridge e allora Ridge, tutto carico positivamente, va a rompere le scatole ai gruppi di amici del bar Alchene e si avvicina a un carbonio, legandosi con esso.

Se l’Alchene è simmetrico, si lega a un carbonio qualsiasi…

Poi che fa? TAC, come se niente fosse gli ruba un elettrone! Allora Katie si trova costretta a raffreddare i rapporti con Thorn, rompendo il doppio legame che ha con lui e non solo, a causa della positività di Ridge si trova costretta a togliere un elettrone a Thorn, facendolo diventare positivo, cioè un carbocatione!

Se l’Alchene è asimmetrico, siccome in fondo Ridge è un timidone, quando ci sono due carboni che possono rompere un doppio legame per legarsi a lui e uno di questi due carboni ha più idrogeni, Ridge si avvicina proprio a quel carbonio che ha già più idrogeni…

Al che si consuma la stessa tragedia che si era consumata per l’Alchene simmetrico: Ridge mette Katie in difficoltà, lasciandola con carenza di elettroni, e allora Katie li chiede al povero Thorn, che diventa un catiocogl… un carbocatione,

Sappiamo tutti che non si può sottovalutare l’ira dei buoni, Thorn ora che è carbocatione è diventato passionale e irascibile come Ridge e allora chi interviene? In entrambi i casi interviene Broke, carica negativamente perché ha fregato l’elettrone a Ridge, e indovinate con chi se la fa? Con Thorn ovviamente, che almeno così perde la sua positività, in modo da raggiungere nuovi equilibri, sia nel caso dell’Alchene simmetrico:

…che nel caso dell’Alchene non simmetrico:

PS 1: se vi piacciono i modellini per fare le molecole li trovate qui.

PS 2: lui la spiega meglio di me!

Metodi visivi per capire le percentuali

Per capire le percentuali è importante riuscire a vedere visivamente il rapporto di proporzionalità che c’è tra una quantità parziale che si considera e quella totale e tra il valore percentuale e il numero cento.

Ad esempio, se di una quantità totale costituita da 235 parti ne prendiamo 235, ne stiamo prendendo il 100%.

Se di una quantità totale costituita da 80 parti ne prendiamo 40, ne stiamo prendendo il 50%.

Se di una quantità totale costituita da 60 parti ne prendiamo 20, ne stiamo prendendo il 33% circa.

Se di una quantità totale costituita da 200 parti ne prendiamo 50, ne stiamo prendendo il 25%.

Se di una quantità totale costituita da 200 parti ne prendiamo 50, ne stiamo prendendo il 25%.

Considerando un problema esemplificativo, tratto dal libro di testo Nuova Matematica a Colori, in cui ho trovato degli esercizi molto pratici, possiamo vederlo così:

Ho preparato un foglio Excel con tutti i grafici qui presentati, i calcoli del problema e anche un foglio chiamato Adesso prova tu in cui si può provare a inserire i dati nelle caselle blu in modo che il numeratore sia minore del denominatore e il resto si compilerà automaticamente:

Tanti auguri di Buon Natale, che sia al 100% dolce e piacevole!

Impara i verbi irregolari con le canzoni: Last Christmas

Quando si tratta di imparare l’inglese con le canzoni non c’è argomento che si possa affrontare meglio dei paradigmi dei verbi irregolari al passato, forse perché nelle canzoni si ama parlare del passato con nostalgia.

L’esempio che preferisco è Last Christmas, una canzone davvero stupenda e molto istruttiva: vi compaiono ben 11 verbi al passato (gave, bitten, was, were, been, wrapped, meant, kissed, thought, tore (apart), found), di cui ben 9 irregolari!

C’è anche una frase ipotetica: “but if you kissed me now, I know you’d fool me again.”

Vi elenco di seguito i paradigmi dei verbi irregolari e poi vi lascio all’ascolto!

give, gave, given

bite, bit, bitten

be, was/were, been

mean, meant, meant

think, thought, thought

tear, tore, torn (apart)

find, found, found

Last Christmas I gave you my heart

Lo scorso Natale ti ho dato il mio cuore

But the very next day you gave it away

Ma il giorno seguente lo hai buttato via

This year, to save me from tears

Quest’anno per salvarmi dalle lacrime

I’ll give it to someone special

Lo darò a qualcuno di speciale

Last Christmas I gave you my heart

Lo scorso Natale ti ho dato il mio cuore

But the very next day you gave it away (you gave it away)

Ma il giorno seguente lo hai buttato via (lo hai buttato via)

This year, to save me from tears

Quest’anno per salvarmi dalle lacrime

I’ll give it to someone special (special)

Lo darò a qualcuno di speciale (speciale)

Once bitten and twice shy

Morso una volta, doppiamente diffidente

I keep my distance, but you still catch my eye

Mantengo la distanza, ma mi vedi comunque

Tell me baby, do you recognize me?

Dimmi tesoro, mi hai riconosciuto?

Well, it’s been a year, it doesn’t surprise me

Insomma, è passato un anno, non mi sorprende

“Merry Christmas” I wrapped it up and sent it

“Buon Natale” l’ho avvolto e spedito

With a note saying “I love you”, I meant it

Con una nota che diceva “Ti amo”, lo intendevo davvero

Now I know what a fool I’ve been

Ora capisco che pazzo sono stato

But if you kissed me now, I know you’d fool me again

Ma se mi baciassi adesso, so che mi prenderesti in giro di nuovo

Last Christmas I gave you my heart

Lo scorso Natale ti ho dato il mio cuore

But the very next day you gave it away (you gave it away)

Ma il giorno seguente lo hai buttato via (lo hai buttato via)

This year, to save me from tears

Quest’anno per salvarmi dalle lacrime

I’ll give it to someone special (special)

Lo darò a qualcuno di speciale (speciale)

Last Christmas I gave you my heart

Lo scorso Natale ti ho dato il mio cuore

But the very next day you gave it away

Ma il giorno seguente lo hai gettato via

This year, to save me from tears

Quest’anno per evitare lacrime

I’ll give it to someone special (special)

Lo darò a qualcuno di speciale (speciale)

Ohh Ohh Oh, oh, baby Oh, oh, baby

A crowded room, friends with tired eyes

Una stanza affollata, amici con gli occhi stanchi

I’m hiding from you and your soul of ice

mi nascondo da te e dalla tua anima di ghiaccio

My God, I thought you were someone to rely on

Mio Dio, pensavo che fossi qualcuno di cui fidarmi

Me? I guess I was a shoulder to cry on

Quanto a me? Suppongo di essere stato una spalla su cui piangere

A face on a lover with a fire in his heart

Un viso su un’innamorato con una fiamma nel cuore

A man under cover but you tore me apart

Un uomo sotto copertura ma tu mi hai fatto a pezzi

Ooh, ooh, now I’ve found a real love

Ooh, ooh, ora ho trovato il vero amore

You’ll never fool me again

Non ti prenderai più gioco di me

Last Christmas I gave you my heart

Lo scorso Natale ti ho dato il mio cuore

But the very next day you gave it away (you gave it away)

Ma il giorno seguente lo hai buttato via (lo hai buttato via)

This year, to save me from tears

Quest’anno per evitare lacrime

I’ll give it to someone special (special)

Lo darò a qualcuno di speciale (speciale)

Last Christmas I gave you my heart

Lo scorso Natale ti ho dato il mio cuore

But the very next day you gave it away

Ma il giorno seguente lo hai gettato via

This year, to save me from tears

Quest’anno per evitare lacrime

I’ll give it to someone special

Lo darò a qualcuno di speciale

Special Speciale Someone Qualcuno

Buon Natale!

La lavagnetta è comodissima, chi fosse interessato la può trovare qui.